Contenido

• Pasos
• Consejos
• Advertencias

Antes de que llegara la calculadora, tanto los estudiantes como los profesores tenían que calcular las raíces cuadradas a mano. Se han desarrollado varios métodos para lidiar mejor con este proceso aterrador, algunos aportan aproximaciones y otros un valor más preciso. Para aprender a calcular una raíz cuadrada a mano usando operaciones simples, lea el Paso 1 para comenzar.

Pasos

Método 1 de 2: uso de factorización prima

1. 

   Divida el número por factores cuadrados perfectos. Este método usa los factores de un número para calcular una raíz cuadrada (dependiendo del valor, puede ser una respuesta precisa o estimada). Tú factores de un número son cualquier conjunto de otros que se multiplican para lograrlo. Podría decir, por ejemplo, cuáles son los factores y por qué. Los cuadrados perfectos, por otro lado, son números enteros que resultan de la multiplicación entre otros números enteros. Los valores y, por ejemplo, son cuadrados perfectos porque se pueden representar mediante, y, respectivamente. Los factores del cuadrado perfecto, como puede imaginar, también son cuadrados perfectos. Para comenzar a encontrar la raíz cuadrada a través de la factorización prima, reduzca los valores a sus factores cuadrados perfectos.
   • En un ejemplo, tendrás que calcular la raíz cuadrada de la mano. Para comenzar, simplemente divide el valor en tus factores cuadrados perfectos. Dado que es un múltiplo de, todavía se sabe que es divisible por - un cuadrado perfecto. Una división mental rápida te hará ver que encaja veces en el número, que casualmente también es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, los factores del cuadrado perfecto de será y por qué.
   • La primera etapa del ejercicio se escribirá como:

2. 

   
   
   Calcula las raíces cuadradas de los factores del cuadrado perfecto. La propiedad del producto raíz cuadrada establece que, para cualquier valor y dato,. Debido a esto, ahora es posible extraer las raíces cuadradas de los factores y multiplicarlas para llegar a la respuesta.
   • En el ejemplo en cuestión, las raíces cuadradas de y se extraerán de la siguiente manera:

3. 

   
   
   Reduzca el valor resultante a sus términos más simples, si no es posible factorizarlo perfectamente. En la práctica, es poco probable que los números sean perfectos y exactos con factores que también son cuadrados perfectos (como). En tales casos, es posible que no sea posible obtener una respuesta completa exacta. En cambio, al determinar los factores que pueden ser cuadrados perfectos, puede calcular la respuesta basándose en una raíz cuadrada más pequeña, más simple y más fácil de trabajar. Simplemente reduzca el número a la combinación de factores que son cuadrados perfectos con otros que no lo son. Luego, simplifica el resultado.
   • Suponga que se usa la raíz cuadrada de como ejemplo. Este número no es el producto de dos cuadrados perfectos, por lo que no es posible llegar a un valor entero como en el caso anterior. Sin embargo, es el producto entre un cuadrado perfecto y otro número, e. Estos datos se utilizarán para avanzar en la búsqueda de la respuesta en los términos más simples, de la siguiente manera:

4. 

   
   
   Si es necesario, haga estimaciones. Con la raíz cuadrada en sus términos más simples, es más sencillo estimar una respuesta numérica estipulando el valor de las raíces cuadradas restantes y multiplicando los valores apropiados. Una forma de guiarse por estas estimaciones es encontrar los cuadrados perfectos junto al número en la raíz cuadrada. Sabrás que las posiciones decimales de ese número estarán entre estos dos valores y, por tanto, será más fácil estipular lo que existe entre ellos.
   • Volviendo al ejemplo y siendo e, puede ver que está entre e - y probablemente más cerca del número mayor. Al estimar, encontrará eso. Simplemente verifique la operación con la ayuda de una calculadora y notará que se ha acercado mucho a la respuesta verdadera ().
     • Esto también funciona en grandes cantidades. Es posible, por ejemplo, estimar que está entre y (probablemente más cerca del número mayor). Si ey está entre ambos valores, es probable que su raíz cuadrada también esté entre y. Teniendo en cuenta que está a un pequeño paso de distancia, puede afirmar con confianza que su raíz cuadrada es pronto por debajo del valor. Al realizar el cálculo en una calculadora, llega al resultado: la suposición era correcta.

5. 

   Primero, reduzca el número a su mínimos comunes múltiples. No es necesario encontrar factores que sean cuadrados perfectos si puedes determinar los factores primos de un número (es decir, que también son números primos). Escriba el valor en cuestión basado en el mínimo común de múltiplos. Luego, busque pares de números primos que coincidan entre sí. Cuando encuentre dos opciones que cumplan con estos requisitos, sáquelas de la raíz cuadrada y coloque a de ellos afuera.
   • Como ejemplo, intente encontrar la raíz cuadrada de con este método. Se sabe eso y aquello. Debido a esto, es posible escribir la raíz cuadrada en términos de sus factores :. Simplemente tome los dos presentes dentro de la raíz y coloque uno de ellos en el exterior para llegar a los términos más simples :. A partir de aquí, es fácil de estimar.
   • Como último ejemplo, intente calcular la raíz cuadrada de:
     • 
       Aquí hay varios valores dentro de la raíz cuadrada; como es un número primo, simplemente tome uno de los pares y coloque una de las unidades en el exterior.
     • Como resultado, la raíz cuadrada en sus términos más simples será o. Desde aquí, puede estimar los valores de y si lo desea.

Método 2 de 2: Calcular raíces cuadradas manualmente

1. 

   Primero, separe los espacios del número en pares. Este método utiliza un proceso similar a la división larga para calcular la raíz cuadrada. exacto, una casa a la vez. Si bien no es crucial, puede encontrar que el proceso es más fácil cuando está organizado visualmente y el número está dividido en partes. Lo primero que debe hacer es dibujar una línea vertical que separe el área de trabajo en dos regiones, luego hacer una línea horizontal más pequeña cerca de la parte superior derecha para tener una sección pequeña en la parte superior y una grande en la parte inferior. Ahora, separe los espacios del número en pares comenzando con la coma: siguiendo esta regla, por ejemplo, se convierte en. Escribe el valor en la parte superior del espacio izquierdo.
   • En un ejemplo, intente calcular la raíz cuadrada de. Haz dos líneas para dividir el área de trabajo como en el caso anterior y escribe en la parte superior del espacio izquierdo, y no te preocupes si solo hay un solo número a la izquierda en lugar de un par. Debe escribir la respuesta () en la región superior derecha.

2. 

   Averigüe cuál es el entero más grande cuyo cuadrado es menor o igual al número (o par de números) de la izquierda. Comience con la parte más a la izquierda de su número, ya sea un par o un valor aislado. Determina cuál es el cuadrado perfecto más grande que es menor o igual a ese número y calcula su raíz cuadrada: este valor está representado por. Escríbalo en el espacio superior derecho y escriba su cuadrado en el cuadrante inferior derecho.
   • En el ejemplo, la parte más a la izquierda es el número. Como se sabe, es posible afirmar que, ya que es el mayor valor entero cuyo cuadrado es menor o igual a. Escribe en el cuadrante superior: este será el primer cuadrado del resultado. Luego escriba (cuadrado de) en el cuadrante inferior derecho; este valor será importante para el siguiente paso.

3. 

   Sustraer el número de par recién calculado a la izquierda. Como en la división larga, el siguiente paso es restar el cuadrado encontrado de la porción que se acaba de estudiar. Escriba este valor debajo de la primera parte y realice la resta correspondiente, escribiendo la respuesta a continuación.
   • En el ejemplo, se colocará uno debajo del uno para realizar la resta. La respuesta aquí será igual a.

4. 

   Baja al siguiente par. Mueva la siguiente parte del número de estudio hacia abajo y al lado del valor restado que acaba de encontrar. Luego, multiplique el valor en la esquina superior derecha por y escriba la respuesta en el cuadrante inferior derecho. Ahora solo separe un espacio para el problema de multiplicación en el siguiente paso :.
   • En el ejemplo, el siguiente par disponible es. basta con mirarlo cerca del cuadrante inferior izquierdo. Luego multiplique el valor por y consígalo, de modo que. Escriba en la esquina inferior derecha, seguido de.

5. 

   Complete los espacios en blanco en el cuadrante derecho. Cada uno de ellos ahora tendrá el mismo número entero. Debe ser el más grande que permita que el resultado de la multiplicación de la derecha sea menor o igual al número ahora presente a la izquierda.
   • En el ejemplo, llenando los espacios en blanco con el resultado :. Este es un valor mayor que. De esa forma, es demasiado grande, pero probablemente servirá. Escriba en los espacios en blanco y proceda :. Se confirma que satisface la necesidad porque, luego escriba el número en el cuadrante superior derecho.Este es el segundo cuadrado en la raíz cuadrada de.

6. 

   Reste el valor calculado del número ahora a la izquierda. Continúe restando en el mismo estilo que la división larga. Toma el resultado del problema de multiplicación en el cuadrante derecho y réstalo del valor que está ahora en el lado izquierdo, colocando tu respuesta justo debajo.
   • En el ejemplo, se restará de, dando como resultado.

7. 

   Repita el paso 4. Desplácese hacia abajo hasta la siguiente parte del número cuya raíz cuadrada se está calculando. Cuando llegues a la coma, escribe un decimal en la respuesta en el cuadrante superior derecho. Luego, multiplique el valor en la parte superior derecha por y escriba la operación en blanco () como anteriormente.
   • En el ejemplo, ahora que se llega a la coma, escríbala justo después de la respuesta actual en la parte superior derecha. Luego, baje el siguiente par () en el cuadrante izquierdo. Al multiplicar por el valor en la parte superior derecha (), obtienes: escribe en el cuadrante inferior derecho.

8. 

   Repita los pasos 5 y 6. Encuentre el valor decimal más grande capaz de completar los espacios en blanco a la derecha que arrojen un resultado menor o igual que el número actualmente a la izquierda. Luego, pase al problema.
   • En el ejemplo ,, que es menor o igual que el número de la izquierda (). Observando eso, que es demasiado alto, llegas a la conclusión de que es la respuesta que estás buscando. Escríbalo como el siguiente lugar decimal en el cuadrante superior derecho y reste el resultado de multiplicar el número de la izquierda :.

9. 

   Continúe calculando los lugares decimales. Suelta un par de ceros a la izquierda y repite el Pasos 4, 5 y 6. Para una precisión aún mayor, continúe repitiendo el proceso hasta que encuentre las centésimas, milésimas y así sucesivamente en su respuesta. Simplemente continúe en este ciclo hasta que alcance el resultado en el lugar decimal deseado.

Entendiendo el proceso

1. 

   Defina el número cuya raíz cuadrada se calculará como el área de un cuadrado. Como esta área tiene una fórmula, donde representa la longitud de uno de sus lados, cuando intentas encontrar la raíz cuadrada de su valor, estás tratando de calcular la longitud del cuadrado en cuestión.

2. 

   Especifique las variables para cada lugar decimal en su respuesta. Establezca la variable para que sea el primer decimal de (se calcula la raíz cuadrada), para que sea el segundo, para que sea el tercero, etc.

3. 

   Asigne variables alfabéticas a cada parte del número inicial. Asocie la variable con el primer par de lugares decimales en (valor inicial), el segundo par de lugares decimales, y así sucesivamente.

4. 

   Comprende la conexión de este método con la división larga. Esta forma de calcular la raíz cuadrada es básicamente un problema de división larga que divide el número inicial por su raíz cuadrada, donación su raíz cuadrada en respuesta. Al igual que con los problemas de división larga, en los que el interés se dirige a un decimal a la vez, aquí debe centrarse en dos a la vez (que corresponden al siguiente decimal de raíz cuadrada).

5. 

   Encuentra el número más grande cuyo cuadrado es menor o igual que. El primer lugar decimal en la respuesta representa el número entero más grande cuyo cuadrado no exceda (entonces). En el ejemplo, y así.
   • En un ejemplo, si quisiera dividir usando el método de división larga, el primer paso sería similar: debe buscar el primer dígito () y encontrar el entero más grande que, cuando se multiplica por, daría como resultado algo menor que o igual a. Básicamente, se trata de encontrar ese camino. En este caso, sería igual a.

6. 

   Visualice el cuadrado cuya área desea calcular. La respuesta, que es la raíz cuadrada del número inicial, estará representada por, que describe la longitud de un cuadrado de área (número inicial). Los valores de y representan los lugares decimales presentes en. Otra forma de plantear esta definición es afirmar que, en el caso de una respuesta con dos decimales, en el caso de una respuesta con tres decimales, etc.
   • En el ejemplo. Recuerda que representa la respuesta en unidades y en decenas. Tomando y como ejemplo, resultará en el número. Si representa el área del cuadrado, representa el área del cuadrado interno más grande, representa el área del cuadrado interno más pequeño y representa el área de cada uno de los rectángulos restantes. Al realizar este largo y complicado proceso, tendrás a mano toda el área del cuadrado, simplemente sumando las áreas calculadas a partir de los cuadrados y rectángulos del interior.

7. 

   Restar de. Suelta un par () de posiciones decimales. La expresión representa casi toda el área del cuadrado, del cual se restó el cuadrado interno más grande. El resto, a su vez, puede ser representado por el obtenido en Paso 4 (en el ejemplo anterior). Aquí, (área de ambos rectángulos más el área del cuadrado más pequeño).

8. 

   Busque, también escrito como. En el ejemplo, ya conoce () y (), y ahora es necesario calcular el valor de. Probablemente no será un valor entero, por lo que debe De Verdad Calcule la mayor posibilidad total que satisfaga la condición. Finalmente, te quedarás con.

9. 

   Resuelve la operación. Para continuar, multiplica por, cambia la posición de las decenas (el equivalente a multiplicar el valor por), ponlo en la posición de las unidades y multiplica el resultado por. En otras palabras, simplemente realice la operación. Es lo mismo que al escribir (estar) en el cuadrante inferior derecho presente en el Paso 4. Ya estoy en eso Paso 5, a su vez, encontrará el valor entero más grande que quepa en el espacio en blanco que cumple la condición.

10. 

    Resta el área del área total. Esto da como resultado el área hasta ahora ignorada (y que se utilizará para calcular los siguientes cuadrados de manera similar).

11. 

    Para calcular el siguiente decimal, simplemente repita el proceso. Desplácese hacia abajo hasta el siguiente par () de para ir a la izquierda y busque el valor más alto que satisfaga la condición (equivalente a escribir el doble del valor con dos lugares decimales acompañados de. Busque el valor decimal más alto posible en los espacios en blanco que trae un resultado menor o igual a, como antes.

Consejos

• Este método funciona con cualquier base, no solo con la base (decimal).
• En el ejemplo, se puede considerar un "descanso":
  
• Un método alternativo que usa fracciones continuas sigue esta fórmula:
  
  En un ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de, el número entero cuyo cuadrado se asemeja más al número inicial es, de modo que, e. Al ingresar los valores en la fórmula y redondear la estimación, ya trae el resultado (valores mínimos), o aproximadamente (). El siguiente término sería, o aproximadamente (). Cada término adicional suma casi tres decimales de precisión con respecto al intento anterior.

Advertencias

• Recuerde separar los lugares decimales en pares de la coma. Una separación de cómo, por ejemplo, traerá resultados inútiles.