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Para aquellos que tienen dificultades con las matemáticas, ver el símbolo de una raíz cuadrada puede causar escalofríos. Sin embargo, los problemas que involucran a este operador no son tan difíciles como parecen. A veces, los problemas simples de raíz cuadrada pueden ser tan fáciles como una simple multiplicación o división. Por otro lado, los problemas más complicados pueden suponer más trabajo. Aún así, con el enfoque correcto, todos parecerán fáciles. Empiece a practicar problemas de raíz cuadrada ahora y aprenda esta nueva habilidad matemática radical!

Pasos

Parte 1 de 3: Comprende el concepto de raíces cuadradas y cuadradas

1. 

   Antes de comprender las raíces cuadradas, primero comprenda qué es el cuadrado de un número. Es fácil de entender. Para elevar un número al cuadrado, simplemente multiplícalo por sí mismo. Por ejemplo, 3 al cuadrado es lo mismo que 3 × 3 = 9, y 9 al cuadrado es lo mismo que 9 × 9 = 81. Los cuadrados se indican con un pequeño "2" en la parte superior derecha del número que se va a aumentar, así: 3, 9, 100 y así sucesivamente.
   • Para practicar el concepto, intente elevar al cuadrado algunos números más. Recuerde, elevar un número al cuadrado es simplemente multiplicarlo por sí mismo. Puedes hacer esto incluso con números negativos, pero recuerda que en este caso la respuesta siempre será positiva. Por ejemplo, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Para encontrar la raíz cuadrada, encuentre el "inverso" de la potenciación. El símbolo raíz (√, también llamado "radical") básicamente significa el "opuesto" del símbolo. Cuando vea un radical, pregúntese: "¿Qué número puedo multiplicar por sí mismo para que el resultado sea el número dentro del radical?". Por ejemplo, cuando vea √ (9), intente encontrar el número que, al cuadrado, igual a 9. En este caso, la respuesta será Tresporque 3 = 9.
   • Otro ejemplo: encontremos la raíz cuadrada de 25 (√ (25)). Esto significa que necesitamos encontrar el número que, al cuadrado, es igual a 25. Como 5 = 5 × 5 = 25, podemos decir que √ (25) = 5.
   • También puede pensar en esta operación como una forma de "deshacer" una elevación cuadrada. Por ejemplo, si necesitamos encontrar √ (64), la raíz cuadrada de 64, deberíamos pensar en 64 como 8. Dado que la raíz cuadrada básicamente "cancela" una elevación al cuadrado, podemos decir que √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Comprender la diferencia entre números cuadrados perfectos y números cuadrados imperfectos. Hasta ahora, las respuestas a nuestros problemas de raíz cuadrada han sido números enteros. No siempre sucederá. De hecho, el resultado de una operación de radiación a veces puede resultar en decimales largos y complicados. Si la raíz de un número es un número entero, es decir, si no es una fracción o un decimal, se llamará cuadrado perfecto. Todos los ejemplos que se muestran arriba (9, 25 y 64) son cuadrados perfectos porque sus raíces son números enteros (3, 5 y 8, respectivamente).
   • Por otro lado, los números cuyas raíces no son enteras se llaman cuadrados imperfectos. Al calcular la raíz de uno de estos números, obtendremos un resultado que normalmente será una fracción o un decimal. A veces, los decimales involucrados pueden ser bastante complicados, como en el ejemplo: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Memoriza al menos los primeros 12 cuadrados perfectos. Como hemos mostrado, calcular la raíz cuadrada de un número puede ser muy fácil. Por eso es importante tomarse el tiempo para memorizar las raíces cuadradas de la primera docena de cuadrados perfectos. Suelen aparecer mucho en los exámenes, por lo que memorizarlos puede ahorrarle mucho tiempo. Los primeros 12 cuadrados perfectos son:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Cuando sea posible, simplifique las raíces eliminando los cuadrados perfectos. Encontrar la raíz cuadrada de cuadrados imperfectos puede ser bastante complicado, especialmente si no hay una calculadora disponible (en las secciones siguientes, aprenderá trucos para simplificar el proceso). Sin embargo, a veces es posible simplificar los números dentro de la raíz para facilitar los cálculos. Simplemente divide el número dentro de la raíz en factores, luego calcula la raíz de los factores que son cuadrados perfectos y escribe la respuesta fuera del radical. Esto es más fácil de lo que parece. ¡Vea a continuación para comprender mejor!
   • Digamos que necesitas encontrar la raíz de 900. ¡Al principio, parece una tarea bastante difícil! Todo es mucho más fácil si dividimos los 900 en factores. Los factores de un número "x" son un conjunto de números que, si se multiplican, dan como resultado "x". Por ejemplo, podemos obtener 6 al multiplicar 1 × 6 y 2 × 3, por lo que los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.
   • En lugar de trabajar con 900, que puede ser un poco extraño, escribámoslo como 9 × 100. Ahora, como 9, que es un cuadrado perfecto, está separado de 100, podemos calcular su raíz cuadrada. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Es decir, √ (900) = 3√(100).
   • Aún podemos simplificar dos veces más, dividiendo 100 en factores 25 y 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Entonces, podemos decir que √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Usa números imaginarios para calcular la raíz de números negativos. Pregúntese, ¿qué número multiplicado por sí mismo da como resultado -16? No es 4 o -4, porque el cuadrado de estos dos números es 16. ¿Deberíamos rendirnos? De hecho, no hay forma de escribir la raíz cuadrada de -16 o cualquier otro número negativo usando solo números reales. En tales casos, debemos usar números imaginarios (generalmente en forma de letras o símbolos) para reemplazar la raíz cuadrada de un número negativo. La variable "i", por ejemplo, se usa para denotar la raíz cuadrada de -1. Como regla general, la raíz de un número negativo siempre será (o al menos incluirá) un número imaginario.
   • Recuerde, aunque los números imaginarios no se pueden representar con números reales, aún pueden tratarse como tales de alguna manera. Por ejemplo, la raíz de un número negativo "-x", si se eleva al cuadrado, también da como resultado "-x", al igual que cualquier otra raíz. Es decir, i = -1

Parte 2 de 3: Uso de métodos similares a divisiones largas

1. 

   Trate el problema de la raíz cuadrada como si fuera una división larga. A pesar de ser un poco laborioso, puede encontrar la raíz cuadrada de números cuadrados imperfectos complicados sin usar una calculadora. El método (o algoritmo) es similar (pero no el mismo) al de la división larga. La división larga es el método tradicional utilizado para calcular las divisiones a mano.
   • Empiece por el posicionamiento inicial del problema, que será similar al de la división larga. Por ejemplo, digamos que necesitas encontrar la raíz de 6.45, que definitivamente no es un cuadrado perfecto. Primero, escribimos un símbolo de raíz cuadrada (√) y luego ponemos nuestro número dentro. Luego, debemos trazar una línea desde el símbolo √ hasta que cubra el número entero, dejándolo dentro de un recuadro similar al del divisor largo. La diferencia es que aquí la respuesta estará por encima de esa casilla, no por debajo, como en la división tradicional. Cuando hayamos terminado, tendremos un signo "√" alargado, cubriendo todo el número de 6.45.
   • Escribamos números en este cuadro, así que deja espacio.

2. 

   Agrupa los dígitos en pares. Para comenzar a resolver el problema, agrupe los dígitos del número dentro de la raíz en pares, comenzando con el punto decimal. Puede hacer pequeñas marcas (como puntos, barras, comas, etc.) entre pares para separarlos.
   • En nuestro ejemplo, deberíamos dividir 6.45 en tres pares, así: 6-,45-00. Vea que hay un dígito menos en el lado izquierdo, no hay problema con eso.

3. 

   Encuentre el número más grande cuyo cuadrado sea menor o igual al valor del primer "grupo". Empiece con el primer par de números del lado izquierdo. Elija el número más grande cuyo cuadrado sea menor o igual que el "grupo". Por ejemplo, si el grupo era 37, elija 6, porque 6 = 36 <37 pero 7 = 49> 37. Escriba este número encima del primer grupo. Este es el primer dígito de la respuesta.
   • En nuestro ejemplo, el primer grupo en 6-, 45-00 es 6. El primer número más grande cuyo cuadrado es menor o igual a 6 es 2, porque 2 = 4. Escribe "2" sobre el 6 que está dentro del radical.

4. 

   Mire el primer dígito de la respuesta (el número que acabamos de encontrar) y multiplíquelo por dos. Ahora, escribe el resultado debajo del primer grupo y realiza una resta para encontrar la diferencia. Luego, desplácese hacia abajo en el siguiente par de números, agregándolos a la diferencia que acabamos de encontrar. Finalmente, escriba el último dígito al doble del primer dígito de la respuesta en el lado izquierdo y deje un espacio al lado.
   • En nuestro ejemplo, el primer paso sería encontrar el doble de 2, que es el primer dígito de la respuesta. 2 × 2 = 4. Luego, debemos restar 4 de 6 (nuestro primer "grupo"), obteniendo 2 como respuesta. Ahora, tenemos que bajar al siguiente grupo (45) para obtener 245. Finalmente, escribimos 4 nuevamente a la izquierda, dejando un pequeño espacio en blanco en el lado derecho, así: 4_.

5. 

   Complete el espacio en blanco. Ahora, necesitamos poner un dígito en lugar del espacio en blanco junto al número que escribimos a la izquierda. Elija el dígito que, cuando se multiplica por el número de la izquierda con el espacio en blanco reemplazado por sí mismo, tiene un valor máximo, pero menor que el número de la derecha. Esto puede parecer un poco complicado, así que veamos algunos ejemplos para entenderlo. Si el número que bajó, es decir, el del lado derecho, es 1700 y el número de la derecha es 40_, llenaríamos el espacio en blanco con el número 4, porque 404 × 4 = 1616 <1700 y 405 × 5 = 2025 El número que se encuentre en este paso será el segundo dígito de la respuesta, por lo que puede agregarlo sobre el símbolo de la raíz.
   • En nuestro ejemplo, necesitamos encontrar el número para completar el espacio en blanco en 4_ × _ que hace que la respuesta sea lo más grande posible, pero menor o igual a 245. En nuestro caso, la respuesta es 5porque 45 × 5 = 225 y 46 × 6 = 276.

6. 

   Continúe usando los números que llenan los espacios en blanco para componer la respuesta. Continúe con este método de división larga modificado hasta que comience a obtener ceros restando el número que desciende del radical o hasta que alcance el nivel de precisión deseado. Cuando termine, los números utilizados para completar los espacios en blanco en cada paso (y, por supuesto, el primer número que usemos) formarán los dígitos de respuesta.
   • Continuando con nuestro ejemplo, restaríamos 225 de 245 para obtener 20. Luego, bajaríamos el par de dígitos 00 para obtener 2000. Al duplicar los números por encima del radical, tenemos 25 × 2 = 50. Al establecer el número del espacio en blanco en 50_ × _ = / <2,000, obtenemos 3. En este punto, tenemos "253" sobre el radical. Repitiendo el proceso nuevamente, obtenemos un 9 como el siguiente dígito.

7. 

   Coloque la coma en la posición correcta en la respuesta. Para terminar la respuesta, todavía necesitamos poner el punto decimal en el lugar correcto. Esta parte es fácil: simplemente coloque la coma en la respuesta en la misma posición que la coma en el número dentro del radical. Por ejemplo, si el número dentro del radical es 49.8, simplemente coloque la coma en la respuesta en el lugar correspondiente al de abajo, es decir, entre los dos números arriba del 9 y el 8.
   • En nuestro ejemplo, el número dentro del radical es 6.45. Para obtener la respuesta, simplemente coloque la coma entre los números que están por encima de 6 y 4, que en este caso son 2 y 5, respectivamente, para obtener la respuesta: 2,539.

Parte 3 de 3: Estimación rápida de cuadrados imperfectos

1. 

   Encuentre la respuesta a través de una estimación. Una vez que conozca la raíz de algunos cuadrados perfectos, será mucho más fácil encontrar la raíz de los cuadrados imperfectos. En un paso anterior, recomendamos memorizar al menos los primeros doce cuadrados perfectos y sus raíces. La buena noticia es que podemos usar la estimación para obtener una aproximación de la raíz de un cuadrado imperfecto que está entre dos cuadrados perfectos que conocemos. Para eso, necesitamos encontrar el primer cuadrado perfecto más grande que el número deseado y el último más pequeño, de modo que el número en cuestión esté entre los dos. Luego, debemos tratar de averiguar a cuál de estos dos cuadrados perfectos se acerca más la raíz del número deseado.
   • Por ejemplo, suponga que necesitamos encontrar la raíz cuadrada de 40. Como memorizamos nuestros cuadrados perfectos, podemos decir que 40 está entre 6 y 7, es decir, entre 36 y 49. Dado que 40 es mayor que 6, su raíz cuadrada será mayor que 6. Asimismo, dado que es menor que 7, su raíz será menor que 7. 40 está un poco más cerca de 36 que de 49, por lo que nuestra respuesta probablemente estará más cerca de 6. En los próximos pasos , aumentaremos la precisión de nuestra estimación.

2. 

   Aumente la precisión a un decimal. Una vez que haya encontrado los dos cuadrados perfectos consecutivos que forman un rango que contiene su número, simplemente intente aumentar la precisión de la estimación hasta un punto que crea que es satisfactorio. Cuantos más intentos se realicen para mejorar la estimación, mayor será la precisión. Para comenzar, calcule el valor del primer decimal. Esta estimación no tiene que ser correcta, pero usar la lógica para elegir un valor que probablemente sea más cercano a la respuesta facilitará el proceso.
   • En nuestro ejemplo, una estimación aceptable para la raíz cuadrada de 40 podría ser 6,4, porque ya sabemos que la respuesta probablemente esté un poco más cerca de 6 que de 7.

3. 

   Multiplica la estimación por sí misma. A menos que tenga mucha suerte, el resultado no será el número inicial (40, en nuestro ejemplo). Deberá ajustar la estimación para acercarse a la respuesta correcta.Si el resultado está por encima del número inicial (es decir, por encima de 40), intente una estimación más baja. Asimismo, si el resultado está por debajo del número deseado, aumente la estimación.
   • Multiplica 6.4 por sí mismo para obtener 6.4 × 6.4 = 40,96, que es un poco más alto que nuestro número inicial.
   • Ahora, como nuestra estimación estaba justo por encima del valor correcto, disminuyémoslo en una décima para obtener 6,3 × 6,3 = 39,69. Ahora el resultado fue un poco menor que nuestro número original. Esto significa que la raíz de 40 es un número entre 6,3 y 6,4. Además, como 39,69 está más cerca de 40 que de 40,96, sabemos que la raíz estará más cerca de 6,3, no de 6,4.

4. 

   Continúe mejorando la estimación si es necesario. En este punto, si está satisfecho con la respuesta, utilice una de las primeras aproximaciones como estimación. Sin embargo, si necesita una respuesta más precisa, intente estimar el segundo lugar decimal, eligiendo un valor entre los dos anteriores (es decir, entre 6,3 y 6,4). Usando este método, podemos estimar tres lugares decimales, cuatro, cinco, etc., dependiendo solo de la precisión requerida para la respuesta.
   • En nuestro ejemplo, podemos elegir 6.33 para hacer nuestra estimación con dos decimales. Multiplica el 6.33 por sí mismo para obtener 6.33 × 6.33 = 40.0689. Como este resultado estuvo ligeramente por encima de nuestro número inicial, podemos elegir un valor ligeramente más bajo, como 6,32. En este caso, 6.32 × 6.32 = 39.9424, un resultado ligeramente por debajo del número inicial. Por lo tanto, podemos concluir que la raíz exacta de 40 es entre 6.32 y 6.33. Si es necesario, podríamos continuar con este método para obtener aproximaciones cada vez más precisas a la raíz del número deseado.

Consejos

• Si necesita una solución rápida, use una calculadora. La mayoría de las calculadoras modernas pueden calcular raíces cuadradas al instante. En general, escriba cualquier número y presione el botón con el símbolo de raíz cuadrada. Para encontrar la raíz de 841, por ejemplo, simplemente presione 8, 4, 1 y luego (√) para obtener la respuesta: 39.